Question

設函數f(x)=

(a-2)x(x≥2) ( 1 π ∫-11 1-x2 dx)x-1(x＜2)

，an=f(n)，若數列{a_n}是單調遞減數列，則實數a的取值范圍為

(-∞，

7

4

)

．

Answer 1

分析：先進行定積分運算求出f（x），進而得到a_n=f（n），根據數列{a_n}是單調遞減數列，可得

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)•2

，解出即得a的范圍．

解答：解：因為

∫

1 -1

1-x2

dx表示單位圓位于x軸上方的半圓面積，所以

∫

1 -1

1-x2

dx=

1

2

π，
則(

1

π

∫

1 -1

1-x2

dx)x=（

1

2

）^x，
所以f（x）=

(a-2)x，x≥2 ( 1 2 )x-1，x＜2

，
所以a_n=f（n）=

(a-2)n，n≥2 ( 1 2 )n-1，n＜2

，
因為數列{a_n}是單調遞減數列，所以a₁＞a₂＞…＞a_n＞a_n+1＞…，
所以有

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)•2

，解得a＜

7

4

，
故實數a的取值范圍為（-∞，

7

4

）．
故答案為：（-∞，

7

4

）．

點評：本題考查函數的單調性、定積分及遞減數列，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．