Question

 

    已知函數.

   （Ⅰ）當時，討論的單調性；

   （Ⅱ）設時，若對任意，存在，使，求實數的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（I）原函數的定義域為

所以，當所以

此時函數上是增函數；在（0，1）上是減函數；

所以此時函數是減函數；

當

解得（舍去），此時函數上是增函數；

在（0，1）上是減函數；

此時函數

上是減函數；

   

   （Ⅱ）當時，在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，所以對任意，

有，又已知存在，使，

所以，，

即存在，使，

即，即，

所以，解得，即實數取值范圍是。

   【命題意圖】本題將導數、二次函數、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的最值以及二次函數的最值問題，考查了同學們分類討論的數學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。

   （1）直接利用函數與導數的關系討論函數的單調性；（2）利用導數求出的最小值、利用二次函數知識或分離常數法求出在閉區間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數。