Question

在各項均為正數的數列{a_n}中，前n項和S_n滿足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（1）證明{a_n}是等差數列，并求這個數列的通項公式及前n項和的公式；
（2）在平面直角坐標系xoy面上，設點M_n（x_n，y_n）滿足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且點M_n在直線l上，M_n中最高點為M_k，若稱直線l與x軸．直線x=a，x=b所圍成的圖形的面積為直線l在區(qū)間[a，b]上的面積，試求直線l在區(qū)間[x₃，x_k]上的面積；
（3）若存在圓心在直線l上的圓紙片能覆蓋住點列M_n中任何一個點，求該圓紙片最小面積．

Answer 1

【答案】分析：本題是解析幾何、數列、極限多知識點融合一體的綜合性題，重點考查數列中a_n和S_n的關系、等差數列的證明、求數列的通項公式、前n項和、直線方程的應用、極限的思想等；
（1）該小題較易，利用a_n=s_n-s_n-1就可以把已知條件轉化為關于a_n的遞推關系，進而得到{a_n}為等差數列，其通項公式、前n項和易得；
（2）根據題意可得點M_n（+，），令x=，y=，消去n得關于x、y的方程，再根據y=是n的減函數可得M₁為M_n中的最高點，且M₁（1，1），又滿足條件的圖形為直角梯形，從而求得其面積；
（3）根據直線C：3x-2y-1=0上的點列M_n依次為M₁（1，1），M₂（，），M₃（，），…，M_n（，），可得其極限點M（，），從而|M₁M|，最小圓紙片的面積即得．
解答：解：（1）由已知得2S_n=2a_n²+a_n-1①
故2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1②
②-①得2a_n+1=2a_n+1²-2a_n²+a_n+1-a_n
結合a_n＞0，得a_n+1-a_n=
∴{a_n}是等差數列
又n=1時，2a₁=a₁²+a₁-1，解得a₁=1或a₁=
∵a_n＞0，∴a₁=1
又d=，故a_n=1+（n-1）=n+
∴S_n=n+=n²+n；
（2）∵a_n=nx_n，S_n=n²y_n
∴x_n==+，y_n==+
即得點M_n（+，）
設x=，y=，
消去n，得3x-2y-1=0，
即直線C的方程為3x-2y-1=0
又y=是n的減函數
∴M₁為M_n中的最高點，且M₁（1，1）
又M₃的坐標為（，）
∴C與x軸．直線x=，x=1圍成的圖形為直角梯形
從而直線C在[，1]上的面積為
S=×（+1）×（1-）=；（9分）
（3）由于直線C：3x-2y-1=0上的點列M_n依次為
M₁（1，1），M₂（，），M₃（，），
M_n（，），
而（）=，（）=
因此，點列M_n沿直線C無限接近于極限點M（，）
又|M₁M|==
所以最小圓紙片的面積為．
點評：本題題型大，覆蓋面廣，應用知識豐富，是一個難度大的題目；要正確的解好本題，不僅具備全面的知識方法，還需要一定的耐力，有時解題的意志力也是決定題目是否解出的重要因素，本題的解答就是一個很好的例證；所以解題過程中，不僅積累知識和方法，還是培養(yǎng)人的耐心的方式，是對人的心理因素的考驗．