Question

（2012•藍山縣模擬）已知函數f(x)=

2-x-1，x≤0 f(x-1)，x＞0.

，y=g（x）為k（x）=lnx+a+1在x=1處的切線方程，若方程f（x）-g（x）=0有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，1）

B．（-∞，1]

C．（0，1）

D．[0，+∞）

Answer 1

分析：由y=g（x）為k（x）=lnx+a+1在x=1處的切線方程，求得g（x）=x+a．我們在同一坐標系中畫出函數f(x)=

2-x-1，x≤0 f(x-1)，x＞0.

的圖象與函數y=x+a的圖象，利用數形結合，我們易求出滿足條件實數a的取值范圍．

解答：解：∵k（x）=lnx+a+1，
∴k′（x）=

1

x

，k（1）=a+1，
∴k′（1）=1，
∴k（x）=lnx+a+1在x=1處的切線方程為y-a-1=x-1，
∴g（x）=x+a．
函數f(x)=

2-x-1，x≤0 f(x-1)，x＞0.

的圖象如圖所示，
當a＜1時，函數y=f（x）的圖象與函數y=x+a的圖象有兩個交點，
即方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數根．
所以實數a的取值范圍是（-∞，1）．
故選A．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數的判斷，考查導數的幾何意義的應用．將方程f（x）=x+a根的個數，轉化為求函數零點的個數，并用圖象法進行解答是本題的關鍵．