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設橢圓的方程是（），離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為.

⑴求橢圓的方程；

⑵是否存在過點的直線與橢圓交于兩點，且滿足（其中為坐標原點）？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

解：⑴由已知，，  …………………3分

解得，

所以橢圓的方程為     …………………6分

⑵假設存在滿足條件的直線l，其斜率存在，設斜率為k

∴過點滿足題意的直線 …………7分

由，消去得，………… 8分

令，解得.  …………………9分

設兩點的坐標分別為

則

因為，所以，即

所以

所以 …………………12分

解得.…………………13分

此時滿足

綜上，過點存在直線與橢圓交于兩點，且滿足；的方程為  …………………14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設中心在原點的橢圓與雙曲線2x2-2y2=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是
 

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=
3
2
，已知點P（0，
3
2
）到這個橢圓上的點最遠距離是
7
．求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于
7
的點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）若橢圓的方程是：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），它的左、右焦點依次為F1、F2，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點．在此條件下我們可以提出這樣一個問題：“設△PF1F2的過P角的外角平分線為l，自焦點F2引l的垂線，垂足為Q，試求Q點的軌跡方程？”
對該問題某同學給出了一個正確的求解，但部分解答過程因作業本受潮模糊了，我們在
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這些模糊地方劃了線，請你將它補充完整．
解：延長F2Q 交F1P的延長線于E，據題意，
E與F2關于l對稱，所以|PE|=|PF2|．
所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
 
，
在△EF1F2中，顯然OQ是平行于EF1的中位線，
所以|OQ|=
1
2
|EF1|=
 
，
注意到P是橢圓上異于長軸端點的點，所以Q點的軌跡是
 
，
其方程是：
 
．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），它的左、右焦點依次為F1、F2，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），線段PQ是過左焦點F且不與x軸垂直的焦點弦．若在左準線上存在點R，使△PQR為正三角形，求橢圓的離心率e的取值范圍，并用e表示直線PQ的斜率．

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