Question

已知集合P={1,2,3,4,5,6}，當AP時，記S（A）是集合A中所有元素之和，求所有S（A）的總和S.

Answer 1

解：方法一：由AP知A是P的子集，共有2⁶=64個.顯然S（）=0，

S（P）=1+2+3+4+5+6=21.

記A_1，j表示單元素集，共有6個（j=1，2，3，4，5，6），于是所有單元素集的元素和S₁=1+2+3+4+5+6（元素1，2，3，4，5，6各有1個）；

記A_2，j表示含2個元素的集合，共有15個，且元素1，2，3，4，5，6各在5個集合中出現，于是所有含2個元素的集合的元素和

S₂=5×（1+2+3+4+5+6）；

同理，所有含3個元素的集合（共有20個）的元素和S₃=10×（1+2+3+4+5+6）（元素1，2，3，4，5，6各在10個集合中出現）；

所有含4個元素的集合（共有15個）的元素和S₄=10×（1+2+3+4+5+6）（元素1，2，3，4，5，6各在10個集合中出現）；

所有含5個元素的集合（共有6個）的元素和S₅=5×（1+2+3+4+5+6）（元素1，2，3，4，5，6各在5個集合中出現）.

由上可得，S=S（）+S（P）+S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=672.

方法二：在集合P的子集中，含有元素1的集合共有2⁵個（要得到這樣的集合，只需在{2,3,4,5,6}的子集中加入元素1）.同理，含有元素2的集合也有2⁵個，…，即在所有的S（A）的總和中，1，2，3，4，5，6的每個元素都被使用了2⁵次，

故S=32×（1+2+3+4+5+6）=672.