Question

12．命題p：?x∈[0，π]，使$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx＜a；命題q：?x∈（0，+∞），ax＜x²+1，若命題p∧q為真，則實數a的取值范圍為-$\frac{3}{2}$＜a＜2．

Answer 1

分析 根據函數的性質分別判斷命題p，q的真假性，結合復合命題真假關系進行判斷即可．

解答 解：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
若：?x∈[0，π]，使$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx＜a，
則a＞（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx）的最小值即可，
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴當x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，取得最小值，
此時$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{4π}{3}$=-$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
若p為真命題，則a＞-$\frac{3}{2}$，
若?x∈（0，+∞），ax＜x²+1，
則：?x∈（0，+∞），a＜x+$\frac{1}{x}$，
∵x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
∴a＜2，即q：a＜2，
若命題p∧q為真，則命題p，q同時為真，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{3}{2}}\\{a＜2}\end{array}\right.$，即-$\frac{3}{2}$＜a＜2，
故答案為：-$\frac{3}{2}$＜a＜2

點評 本題主要考查復合命題真假的應用，根據條件求出命題p，q的等價條件，結合題p∧q為真，則命題p，q同時為真是解決本題的關鍵．