Question

如圖，ABCD是邊長為2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C—AB—F是直二面角，AF＝a，G是EF的中點. (1) 求證：平面AGC⊥平面BGC； (2) 求GB與平面AGC所成角的正弦值； (3) 求二面角B—AC—G的大小

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一：∵正方形ABCD，∴CB⊥AB. ∵二面角C—AB—F是直二面角， CB⊥AB，∴CB⊥面ABEF. ∵AG，GB面ABEF， ∴CB⊥AG，CB⊥BG. 又AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形， G是EF的中點， ∴AG＝BG＝a，AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2， ∴AG⊥BG. ∵CB∩BG＝B，∴AG⊥平面CBG， 而AG面AGC，故平面AGC⊥平面BGC.……………………4分 如圖，以A為原點建立直角坐標系， 則A(0，0，0)，B(0，2a，0)， C(0，2a，2a)，G(a，a，0)， F(a，0，0). ＝(a，a，0)，＝(a，－a，0)， ＝(0，0，2a)， ∴·＝(a，a，0)·(a，－a，0)＝a2－a2＋02＝0， ·＝(a，a，0)·(0，0，2a)＝a·0＋a·0＋0·2a＝0， ∴AG＝⊥BG，AG⊥BC，而BG與BC是平面BCG內兩相交直線， ∴AG⊥平面BCG，又AG平面ACG，故平面ACG⊥平面BCG.…………4分
(2)	解法一：如圖，由(1)知面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC. ∴∠BGH是BG與平面AGC所成的角， ∴在Rt△CBG中 BH＝ 又BG＝………………………………8分 解法二：設GB與平面AGC所成角為θ. 由題意可得＝(a，a，0)，＝(2，2a，2a)，＝(a，－a，0). 設平面AGC的一個法向量為n＝(x，y，1)， 由， …………………………8分 (或：在證出，的夾角為BG與平面ACG所成的角后，由＝(a，－a，0)，＝(a，－a，－2a)， 得cos<，>＝
(3)	解法一：由(2)，BH⊥面AGC.作BO⊥AC，垂足為0，連結HO，則HO⊥AC， ∴∠BOH為二面角B—AC—G的平面角. ∵在Rt△ABC中，BO＝a， ∴在Rt△BOH中， 即二面角B—AC—G的大小為arcsin.………………………………13分 解法二：因n＝(1，－1，1)是平面AGC的一個法向量， 又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的一個法向量＝(a，0，0)， ∴設n與的夾角為α，得， ∴二面角B—AC—G的大小為arccos.………………………………13分