Question

已知函數f(x)=

m-x2

x

（m∈R）．
（1）若y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是單調減函數，求實數m的取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）+lnx，當m≥-2時，求g（x）在[

1

2

，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意函數f(x)=

m-x2

x

（m∈R），y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是單調減函數，由復合函數的單調性可判斷出數f(x)=

m-x2

x

（m∈R）在[1，+∞）上是單調減函數，由此可得f′(x)=

-x2-m

x2

≤0恒成立，即

x2+m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，從中解出m的取值范圍即可
（2）可先解出g(x)=

m-x2

x

+lnx，g′(x)=-

x2-x+m

x2

=-

(x- 1 2 )2+m- 1 4

x2

，再根據m的取值的不同范圍討論函數在[

1

2

，2]上的最大值

解答：解：（1）因為函數y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是單調減函數，則根據復合函數的單調性可得f（x）在[1，+∞）上是單調減函數，其導數在[1，+∞）上恒小于等于0，且滿足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以f′(x)=

-x2-m

x2

≤0恒成立，即

x2+m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）

要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上單調減函數，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）g(x)=

m-x2

x

+lnx，g′(x)=-

x2-x+m

x2

=-

(x- 1 2 )2+m- 1 4

x2

…（7分）

當m-

1

4

≥0，即m≥

1

4

時，g'（x）≤0，
∴g（x）在[

1

2

，2]上單調遞減，
∴g(x)max=g(

1

2

)=2m-

1

2

-ln2…（9分）
當-2≤m＜

1

4

時，由g'（x）=0得x1=

1- 1-4m

2

，x2=

1+ 1-4m

2

，
顯然-1≤x1＜

1

2

，

1

2

＜x2≤2，
∴x1∉[

1

2

，2]，x2∈[

1

2

，2]，又g′(x)=-

(x-x1)(x-x2)

x2

當

1

2

≤x≤x2時，g'（x）≥0，g（x）單調遞增；
當x₂＜x≤2時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減                        …（12分）
∴g(x)max=g(x2)=

2m

1+ 1-4m

-

1+ 1-4m

2

+ln

1+ 1-4m

2

=-

1-4m

+ln

1+ 1-4m

2

…（14分）

綜上所述，（1）當m≥

1

4

時，g(x)max=2m-

1

2

-ln2；
（2）當-2≤m＜

1

4

時，g(x)max=-

1-4m

+ln

1+ 1-4m

2

…（16分）

點評：本題考查了導數研究函數的單調性，由函數的單調性求最值解決恒成立的問題及分類討論的思想，本題綜合性強，計算量大極易出錯，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化