Question

附加題：如圖，點A₁，B₁，C₁分別在△ABC的邊AB，BC，CA上，且，若△ABC的周長為p，△A₁B₁C₁的周長為p₁；求證：p₁＜（1-k）p．

Answer 1

證明：如圖，過B₁作AC的平行線交AB于A₂，
則有=k，
∴A₂B₁=kAC，BA₂=kAB，
∵AA₁=kAB，
∴A₁A₂=AB-AA₁-BA₂=（1-2k）AB，
在△A₁A₂B₁中，A₁B₁＜A₁A₂+B₁A₂=（1-2k）AB+kAC，
同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，
∴A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-2k）AB+kAC+（1-2k）BC+kAB+（1-2k）AC+kBC
整理得A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-k）（AB+BC+CA），
即p₁＜（1-k）p．
分析：過B₁作AC的平行線交AB于A₂，根據平行線分線段成比例定理，表示出B₁A₂、A₁A₂，再根據三角形兩邊之和大于第三邊，A₁B₁＜（1-2k）AB+kAC，同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，然后根據三角形周長定義計算即可．
點評：本題主要利用三角形的兩邊之和大于第三邊的性質和平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．