Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2

2

，側棱長為4，E、F分別是棱AB，BC的中點，EF與BD相交于G．
（1）求證：平面EFB₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）求點B到平面B₁EF的距離．

Answer 1

分析：（1）要證面EFB₁⊥面BDD₁B₁，可先證明EF⊥平面BDD₁B₁，證出 EF⊥BD，EF⊥BB₁即可．
（2）在平面BDD₁B₁中，作BH⊥B₁G于為H，說明BH⊥面B₁EF，BH就是點B到平面B₁EF的距離，在Rt△B₁BG中利用等面積法求出BH．

解答：解：（1）證明：∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，根據正四棱柱的性質EF⊥BB₁，BD∩BB₁=B，可知EF⊥平面BDD₁B₁，…（3分）
又EF?面B₁EF，∴面EFB₁⊥面BDD₁B₁…（7分）
（2）可知∴面EFB₁⊥面BDD₁B₁，在平面BDD₁B₁中，作BH⊥B₁G于為H，∵面EFB₁⊥面BDD₁B₁，面EFB₁∩面BDD₁B₁=B₁G
∴BH⊥面B₁EF，BH就是點B到平面B₁EF的距離…（10分）
在Rt△B₁BG中，B₁B=4，BG=1，BH⊥B₁G⇒BH=

BG•BB1

B1G

=

4 17

17

…（12分）

點評：本題考查線面垂直，面面垂直的定義，性質、判定，空間距離的計算．考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．