Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)f（1）=0，當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：先根據(jù)[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0判斷函數(shù) 

f(x)

x

的單調性，進而分別看x＞1和0＜x＜1時f（x）與0的關系．再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷-1＜x＜0和x＜-1時f（x）與0的關系，最后去x的并集即可得到答案．

解答： 解：[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，即x＞0時 

f(x)

x

是增函數(shù)
當x＞1時，

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1時，

f(x)

x

＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函數(shù)，所以-1＜x＜0時，
f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1時f（x）=-f（-x）＜0．
則不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故選：C

點評：本題主要考查了函數(shù)單調性與奇偶性的應用．在判斷函數(shù)的單調性時，常可利用導函數(shù)來判斷．