Question

已知△ABC中，角A，B，C所對應的邊的邊長分別為a，b，c，外接圓半徑是1，且滿足條件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：把b=2sinB 代入已知等式并應用正弦定理得 a²+b²-c²=ab，由余弦定理 得cosC=

1

2

，得到C=60°，由ab=a²+b²-3≥2ab-3 求得ab最大值為3，從而求得△ABC面積

1

2

absinC 的最大值．

解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得 2sin²A-2sin²C=2sinAsinB-2sin²B，
sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，∴a²+b²-c²=ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=60°．
∵ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2rsinC）²=a²+b²-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （當且僅當a=b時，取等號），∴△ABC面積為

1

2

absinC≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
故答案為

3 3

4

．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的應用，求出ab≤3是解題的難點．