Question

設點M的柱坐標為(

2

，

5π

4

，

2

)，則它的球坐標為（　　）

• A．(2，

  π

  4

  ，

  π

  4

  )
• B．(2，

  π

  4

  ，

  5π

  4

  )
• C．(2，

  5π

  4

  ，

  π

  4

  )
• D．(2，

  3π

  4

  ，

  π

  4

  )

Answer 1

分析：柱面坐標（ρ，θ，Z）轉化為直角坐標（x，y，z）時的變換公式為

x=ρcosθ  y=ρsinθ z=z

，套用此公式求出M直角坐標，再直角坐標系（x，y，z）與球坐標系（r，θ，φ）的轉換關系為：r=

x2+y2+z2

； φ=arctan（

y

x

）； θ=arccos（

z

r

），進行轉換即得它的球坐標．

解答：解：∵M點的柱面坐標為M(

2

，

5π

4

，

2

)，設點M的直角坐標為（x，y，z），
∴

x= 2 cos 5π 4   y= 2 sin 5π 4 z= 2

即

x=-1 y=-1 z= 2

．
∴M點的直角坐標為：M（-1，-1，

2

）．
設點M的球面坐標系的形式為（r，φ，θ），r是球面半徑，φ為向量OM在xOy面上投影到x正方向夾角，θ為向量OM與z軸正方向夾角，
所以r=

(-1)2+(-1)2+( 2 )2

=2，容易知道φ=135°=

3π

4

，同時結合點M的直角坐標為（-1，-1，

2

），
可知 cosθ=

z

r

=

2

2

，所以 θ=

π

4

，
所以球面坐標為（2，

3π

4

，

π

4

）
故選D．

點評：本題考查了柱坐標系與球坐標系及柱坐標的意義，會將柱坐標球坐標與直角坐標的互換．