Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為10，設A₁C₁的中點為O₁．
（Ⅰ）求棱AA₁的長
（Ⅱ）求證：面A₁BC₁⊥面BDD₁O₁
（Ⅲ）求異面直線BO₁與A₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設出棱A₁A的長，求出長方體的體積和被截的幾何體的體積，根據條件建立等量關系，求出所求；
（Ⅱ）根據題意四邊形ABCD是正方形，可知AC⊥BD，根據D₁D⊥平面ABCD，可知AC⊥平面D₁DC，由A₁C₁∥AC，可得A₁C₁⊥平面D₁DC．從而可證平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．
（Ⅲ）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，∠O₁BC即為異面直線BO₁與A₁D₁所成的角（或其補角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）設A₁A=h，由題設VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1 -VB-A1B1C1=10，
得S_ABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=1解得h=3．
故A₁A的長為3．（4分）
（Ⅱ）如圖，連接AC、BO₁
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴A₁C₁∥AC．
∴四邊形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥D₁D又AC與BD相交
∴AC⊥平面D₁DC．   由A₁C₁∥AC．
∴A₁C₁⊥平面D₁DC．A₁C₁?平面A₁BC₁．
∴平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．            （9分）
（Ⅲ）因為在長方體中A₁D₁∥BC，
所以∠O₁BC即為異面直線BO₁與A₁D₁所成的角（或其補角）．（11分）
在△O₁BC中，計算可得O₁B=O₁C=

11

，
則∠O₁BC的余弦值為

11

11

，
故異面直線BO₁與A₁D₁所成角的余弦值為：

11

11

．（14分）

點評：本題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力