Question

已知圓C：（x-1）²+（y-3）²=4，過原點O的直線l與圓C相交于A、B兩點
（1）若弦AB的長為2

2

，求直線l的方程；
（2）求證：

OA

•

OB

為定值．

Answer 1

分析：（1）設出直線AB的方程，利用弦AB的長為2

2

，通過半弦長，半徑，弦心距，求出直線中變量的值，可得直線l的方程；
（2）通過直線的斜率不存在與存在兩種情況分別證明：

OA

•

OB

為定值．斜率存在時，聯立直線與圓的方程，通過向量的數量積的坐標運算，求出數量積為定值即可．

解答：解：（1）設直線方程y=kx，所以(

|k-3|

1+k2

)2+(

2

)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直線方程為y=x或y=-7x…（5分）
（2）當k不存在時，直線為x=0，此時

OA

•

OB

=6…（6分）
當k存在時，設直線y=kx，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx (x-1)2+(y-3)2=4

消y得（1+k²）x²-（6k+2）x+6=0，…（7分）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=

6

1+k2

所以

OA

•

OB

=6
綜上：

OA

•

OB

=6…（11分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，弦長與半徑，弦心距的關系，解答直線方程時注意直線的斜率是否存在是解題的關鍵．