Question

已知等比數列{a_n} 的首項a₁=2011，公比q=-

1

2

，數列{a_n} 前n項和記為s_n，前n項積記為∏(n)
（1）證明s₂≤s_n≤s₁
（2）判斷|∏(n)|與|∏(n+1)|的大小，n為何值時，∏(n)取得最大值
（3）證明{a_n} 中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列，如果所有這些等差數列的公差按從小到大的順序依次設為d₁，d₂，d₃，…d_n，…，，證明：數列{d_n}為等比數列．（參考數據2¹⁰=1024）

Answer 1

分析：（1）由等比數列{a_n} 的首項和公比，利用等比數列的前n項和公式表示出數列{a_n} 前n項和s_n，然后分n為奇數和偶數兩種情況即可得到s_n的最大值和最小值，得證；
（2）由π（n）表示前n項之積，表示出

|π(n+1)|

|π(n)|

，根據n等于10時其值大于1，n等于11時其值小于1，得到|π（n）|最大值等于|π（11）|，但是π（11）小于0，而π（10）小于0，π（9）大于0，π（12）大于0，所以π（n）的最大值是π（9）與π（12）中的較大者，利用做商的方法即可判斷出π（n）的最大值是π（12）；
（3）設出數列{a_n} 中的任意相鄰三項為：a_n，a_n+1，a_n+2，然后根據|a_n|隨n增大而減小，{a_n}奇數項均為正，偶數項均為負，分n為奇數和偶數對設出的三項進行調整，利用等差數列的性質確定其三項為等差數列，并求出相應的公差，得到數列{d_n}的通項，根據等比數列的性質可得數列{d_n}為等比數列，得證．

解答：解：（1）由等比數列{a_n} 的首項a₁=2011，公比q=-

1

2

，
得s_n=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a₁[1-(-

1

2

)n]，
①n是奇數時，(-

1

2

)n=-(

1

2

)n，n=1時，-(

1

2

)n最小，
②n是偶數時，(-

1

2

)n=(

1

2

)n，n=2時，(

1

2

)n最大，
綜上：s₂≤s_n≤s₁；
（2）∵|π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，∴

|π(n+1)|

|π(n)|

=|a_n+1|=2011×(

1

2

)n，
∵

2011

210

＞1＞

2011

211

，
當n≤10時，|π（n+1）|＞|π（n）|；當n≥11時，|π（n+1）|＜|π（n）|；
∴|π（n）|_max=|π（11）|，但π（11）＜0，∵π（10）＜0，π（9）＞0，π（12）＞0，
∴π（n）的最大值是π（9）與π（12）中的較大者，
∵

π(12)

π(9)

=a₁₀•a₁₁•a₁₂=[2011×(

1

2

)10]3＞1，
∴π（9）＜π（12），
∴當n=12時，π（12）最大；
（3）對a_n，a_n+1，a_n+2進行調整，|a_n|隨n增大而減小，{a_n}奇數項均為正，偶數項均為負，
①當n是奇數時，調整為：a_n+1，a_n+2，a_n；
則a_n+1+a_n=a₁(-

1

2

)n+a₁(-

1

2

)n-1=a₁

1

2n

，2a_n+2=2a₁(-

1

2

)n+1=a₁

1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n+1，a_n+2，a_n成等差數列；
②當n為偶數時，調整為：a_n，a_n+2，a_n+1，
則a_n+1+a_n=a₁(-

1

2

)n+a₁(-

1

2

)n-1=a₁

(-1)

2n

，2a_n+2=2a₁(-

1

2

)n+1=a₁

(-1)

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n，a_n+2，a_n+1成等差數列；
所以{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列．
①n是奇數時，公差d_n=a_n+2-a_n+1=a₁[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=a₁

3

2n+1

；
②當n為偶數時，公差d_n=a_n+2-a_n=a₁[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=a₁

3

2n+1

，
無論n是奇數還是偶數，都有d_n=a₁

3

2n+1

，則

dn+1

dn

=

1

2

，
∴數列{d_n}是以d₁=

3

4

a₁，公比為

1

2

的等比數列．

點評：此題考查學生掌握確定數列為等差、等比數列的方法，靈活運用等比數列的前n項和公式及等比數列的性質化簡求值，會利用做商的方法判斷兩式子的大小，是一道中檔題．此題的邏輯性比較強，鍛煉了學生的推理論證的能力．