Question

已知平面區域的外接圓與軸交于點，橢圓以線段

為長軸，離心率．

(1)求圓及橢圓的方程；

(2)設橢圓的右焦點為，點為圓上異于的動點，過原點作直線的垂線交直線于點，判斷直線與圓的位置關系，并給出證明。

 

 

 

Answer 1

【答案】

，

當時，，故直線PQ始終與圓C相切

【解析】解:（1）由題意可知，平面區域是以及點為頂點的三角形，

∵，∴為直角三角形，∴外接圓以原點為圓心，

線段為直徑，故其方程為．                    ……4分

．又，∴，可得．

∴所求橢圓的方程是．                      ……………6分

 

 

 

（2）直線與圓相切．設，則．

當時，，，∴； ……8分

當時，，∴.                  ……9分

∴直線的方程為．因此，點的坐標為．∵，

∴當時，，；

當時候，，∴，∴．         ………12分[來

綜上所述，當時，，故直線PQ始終與圓C相切． ………13分