Question

【題目】已知等差數列和等比數列，其中的公差不為0．設是數列的前n項和．若，，是數列的前3項，且．

（1）求數列和的通項公式；

（2）若數列為等差數列，求實數t；

（3）構造數列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若該數列前n項和，求n的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）41.

【解析】

（1）設的公差，由，，是數列的前3項，可得即，又即，解得，，即可得出通項公式；

（2），可得，根據數列為等差數列，可得，據此化簡求解可得值；

（3）設從到各項的和為，

則，進而可得，由，得，進而可得該數列前36項的和，令，解方程可得的值，進而得到的值.

（1）設的公差，，，是數列的前3項，且，

，即，，

解得，，

，

，，公比，

；

（2），

，

數列為等差數列，且，

該數列的前三項滿足式子：，即，

解得或，經過驗證滿足題意；

（3）由（1）可得：，數列的前n項和，

數列的前n項和，

設從到各項的和為，

，

，

，

，，

取，可得該數列前項的和為，

令，解得，

因此，

即n的值為41.