Question

（2014•江門模擬）已知拋物線Σ₁：y=

1

4

x2的焦點F在橢圓Σ₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，直線l與拋物線Σ₁相切于點P（2，1），并經過橢圓Σ₂的焦點F₂．
（1）求橢圓Σ₂的方程；
（2）設橢圓Σ₂的另一個焦點為F₁，試判斷直線FF₁與l的位置關系．若相交，求出交點坐標；若平行，求兩直線之間的距離．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=

1

4

x2即x²=4y的焦點F（0，1），代入橢圓的方程可得b．利用導數的幾何意義可得：切線l的斜率k=y/=

1

2

x|x=2=1，進而得到切線l方程．再由切線方程，令y=0，可得c，利用a=

b2+c2

，即可得到a．
（2）利用點斜式可得直線FF₁的方程，即可判斷二直線平行，利用平行線之間的距離公式可得距離．

解答：解：（1）拋物線y=

1

4

x2即x²=4y的焦點F（0，1），
由題意可得

0

a2

+

1

b2

=1，解得b=1，
切線l的斜率k=y/=

1

2

x|x=2=1，
∴切線l方程為y-1=x-2，即x-y-1=0，
令y=0，解得x=1．∴焦點F₂（1，0），即c=1．
∴a=

b2+c2

=

2

，
橢圓Σ₂的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）得F₁（-1，0），
直線FF₁的方程為

y-0

1-0

=

x-(-1)

0-(-1)

，即x-y+1=0，
∵kFF1=k=1，且F₁（-1，0）不在直線l上，
∴直線FF₁∥l，
FF₁與l之間的距離即為F（0，1）到直線l的距離d=

|0-1-1|

12+12

=

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、導數的幾何意義、平行線之間的距離等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．