Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．
（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求平面PAC和平面PAB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，則PC⊥AB，而CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，則CD⊥AB，又PC∩CD=C，根據線面垂直的判斷定理可知AB⊥平面PCB．
（2）取AP的中點E，連接CE、DE，PC=AC=2，則CE⊥PA，CE=

2

，因CD⊥平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DE⊥PA，從而∠CED為二面角C-PA-B的平面角．由（1）可知AB⊥平面PCB，又AB=BC，可得BC=

2

．在Rt△PCB中，求出PB，CD，在Rt△CDE中，求出∠CED的余弦值即可．

解答：解（1）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（2）取AP的中點E，連接CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=

2

．
∵CD⊥平面PAB，
由三垂線定理的逆定理，得DE⊥PA．
∴∠CED為二面角C-PA-B的平面角．
由（1）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可得BC=

2

．
在Rt△PCB中，PB=

PC2+BC2

=

6

，
CD=

PC•BC

PB

=

2× 2

6

=

2

3

．
在Rt△CDE中，
sin∠CED=

CD

CE

=

2 3

2

=

6

3

．
∴cos∠CED=

3

3

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及求二面角的問題，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力，屬于中檔題．