Question

（2013•金山區(qū)一模）若實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線l：ax+by+c=0上的射影為M，點(diǎn)N（0，3），則線段MN長(zhǎng)度的最小值是

4-

2

．

Answer 1

分析：由題意可得動(dòng)直線l：ax+by+c=0過(guò)定點(diǎn)Q（1，-2），PMQ=90°，點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，求出圓心為PQ的中點(diǎn)C（0，-1），且半徑為

2

．求得點(diǎn)N到圓心C的距離，
再減去半徑，即得所求．

解答：解：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，故有2b=a+c，即a-2b+c=0，對(duì)比方程ax+by+c=0可知，動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)Q（1，-2）．
由于點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，即∠PMQ=90°，所以點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，該圓的圓心為PQ的中點(diǎn)C（0，-1），且半徑為

PQ

2

=

2

，
再由點(diǎn)N到圓心C的距離為 NC=4，所以線段MN的最小值為 NC-r=4-

2

，
故答案為 4-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、圓的定義，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．