Question

（本小題滿分14分）
如圖8，在直角梯形中，，，且．現以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面互相垂直，如圖9．
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．

Answer 1

證明（1）（法一）因為平面平面，
且平面平面，
又在正方形中，，
所以，平面． ………………2分
而平面，
所以，．        ………………3分


在直角梯形中， ,，
，
所以，，
所以，．         ………………4分
又，平面，，
所以，平面．    ………………6分
而平面，
所以，平面平面． ……………7分
（法二）同法一，得平面．              …………………………2分
以為原點，，，分別為，軸，建立空間直角坐標系．
則，，，．     …………………………3分
所以，， ，,
，，
所以，，．                     …………………………………5分
又，不共線，，平面，
所以，平面．                           …………………………6分
而平面，
所以，平面平面．                     …………………………7分
（2）（法一）因為，平面，平面，
所以，平面．                         …………………………9分
因為平面與平面有公共點，
所以可設平面平面，．
因為平面，平面，平面平面，
所以．                                    ………………………10分
從而，，
又，且，，所以為中點，也為正方形．  12分
易知平面，所以，．
所以，是平面與平面所成銳二面角的平面角，
而，
所以平面與平面所成銳二面角為．     …………………………14分
（法二）由（1）知，平面的一個法向量是． ………………9分
設平面的一個法向量為，
因為，
所以， 取，得，所以．………………11分
設平面與平面所成銳二面角為，
則．                ………………………………13分
所以平面與平面所成銳二面角為．    …………………………14分

略