Question

設函數h（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有h（x）＜c²成立，求c的取值范圍．
（3）已知函數，g（x）=lnx是否存在實數d＞0，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出d的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）h'（x）=6x²+6ax+3b，
因為函數h（x）在x=1及x=2取得極值，則有h'（1）=0，h'（2）=0．
即
解得a=-3，b=4．
（2）由（1）可知，h（x）=2x³-9x²+12x+8c，h'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當x∈（0，1）時，h'（x）＞0；
當x∈（1，2）時，h'（x）＜0；
當x∈（2，3）時，h'（x）＞0．
所以，當x=1時，h（x）取得極大值h（1）=5+8c，又h（0）=8c，h（3）=9+8c．
則當x∈[0，3]時，h（x）的最大值為h（3）=9+8c．
因為對于任意的x∈[0，3]，有h（x）＜c²恒成立，
所以　9+8c＜c²，
解得　c＜-1或c＞9，
因此c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）．
（3）把方程整理為，
即為方程dx²+（1-2d）x-lnx=0設H（x）=dx²+（1-2d）x-lnx（x＞0），
原方程在區間（）內有且只有兩個不相等的實數根，即為函數H（x）在區間（）內有且只有兩個零點=
令H'（x）=0，因為d＞0，解得x=1或（舍）
當x∈（0，1）時，H'（x）＜0，H（x）是減函數；
當x∈（1，+∞）時，H'（x）＞0，H（x）是增函數H（x）在（）內有且只有兩個不相等的零點，只需?
分析：（1）先求出函數的導數，利用h'（1）=0，h'（2）=0，即可求a、b的值；
（2）首先求出函數的導數，然后將區間[0，3]，分為x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，3）三段，在每一段找到最大值，然后三個最大值進行比較，求出區間[0，3]上最大值，即可求出c的取值范圍；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數d＞0，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根，再利用導數的知識，研究函數在（）內有且只有兩個不相等的零點的條件，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
點評：本題主要考查了利用導數求函數的極值問題、函數與方程的綜合運用，注意（3）的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．