Question

已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切．
（Ⅰ） 求雙曲線E的方程；
（Ⅱ）已知點F為雙曲線E的左焦點，試問在x軸上是否存在一定點M，過點M任意作一條直線l交雙曲線E于P，Q兩點，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用點到直線的距離公式求得a，再根據焦距，求得b．
（II）假設存在滿足條件的點M，先在直線垂直于y軸時，求得定值，再結合韋達定理根與系數的關系，分析驗證直線不垂直于y軸時，求得此定值的情況，從而得出結論．
解答：解：（Ⅰ）原點到直線 x-y+=0的距離d==，
∴，∴b=1，
∴雙曲線E的方程為；         
（Ⅱ）解法一：假設存在點M（m，0）滿足條件，
①當直線l方程為y=0時，則，∴；
②當直線l方程不是y=0時，可設直線l：x=ty+m，代入
整理得，*
由△＞0得m²+t²＞9，
設方程*的兩個根為y₁，y₂，滿足，∴=，
當且僅當2m²+12m+15=3時，為定值1，
解得，
∵不滿足對任意t≠±，△＞0，∴不合題意，舍去．
而且滿足△＞0；
綜上得：過定點任意作一條直線l交雙曲線E于P，Q兩點，使為定值1．
解法二：前同解法一，得=，
由⇒2m²+12m+15=3，
解得，下同解法一．
解法三：當直線l不垂直x軸時，設，代入
整理得，*
由△＞0得m²k²-3k²+1＞0，
設方程*的兩個根為x₁，x₂，滿足，
∴=，
當且僅當2m²+12m+15=3時，為定值1，
解得，
∵不滿足對任意K≠±，△＞0，∴不合題意，舍去，
而且滿足△＞0；   
當直線l⊥x軸時，代入得，
∴；…（9分）
綜上得：（結論同解法一）
點評：本題借助存在性問題考查圓錐曲線中的定值問題．本題的解答是解決存在性問題的一般思路，巧妙的利用韋達定理根與系數的關系分析求解是關鍵．
另：第（II）題有一般性結論