Question

已知數列{a_n}首項a₁=1公差d＞0，且其第2項、第5項、第14項分別是等比數列{b_n}的第2，3，4項，
（1）求{a_n}{b_n}的通項公式．
（2）設數列{c_n}對任意自然數n均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1成立求c₁+c₂+…+c₂₀₀₇的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式寫出題中的三項，列出方程，求出首項與公差，求出通項公式；
（2）令已知條件中的等式中的n用n-1代替仿寫出另一個等式，兩個式子相減得到數列{c_n}的通項，判斷出其為等比數列，利用等比數列的前n項和求出c₁+c₂+…+c₂₀₀₇．

解答：解：（1）設等差數列第二，五，十四項分別是a₁+d，a₁+4d，a₁+13d，
∵分別是等比數列{b_n}的第2，3，4項
∴（a₁+4d）²=（a₁+d）（a₁+13d），
解得d=2，a₁=1，
所以a_n=2n-1，
b_n=3^n-1
（2）

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

++

cn-1

bn-1

=an（n≥2）
又∵

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1
∴

cn

bn

=an+1-an，
c_n=2•3^n-1 （n≥2）
當n=1時，

c1

b1

=a2，
所以c₁=a₂b₁=3
c₁+c₂+…+c₂₀₀₇=3²⁰⁰⁷．

點評：求等差數列與等比數列的通項利用的方法是基本量法：由已知條件求出首項與公差或公比．