Question

2．如圖，過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點A作直線交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QA}$，則橢圓的離心率是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用等腰三角形的性質和向量相等運算即可得出點Q的坐標，再代入橢圓方程即可．

解答 解：∵△AOP是等腰三角形，A（-a，0）∴P（0，a）．
設Q（x₀，y₀），∵$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QA}$，
∴（x₀，y₀-a）=2（-a-x₀，-y₀）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-2a-2{x}_{0}}\\{{y}_{0}-a=-2{y}_{0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{2}{3}a}\\{{y}_{0}=\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$．
代入橢圓方程得$\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{9}{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，化為$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

點評 熟練掌握等腰三角形的性質和向量相等運算、“代點法”等是解題的關鍵．