Question

已知函數f（x）=ln（x+a）-x，
（1）試確定f（x）的單調性；
（2）數列{a_n}滿足a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，且a1=

1

2

，S_n表示{a_n}的前n項之和
①求數列{a_n}的通項；   
②求證：S_n＜n+1-ln（n+2）．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

1

x+a

-1，通過導數的性質求出f（x）的單調區間．
（2）①由a_na_n+1-2a_n+1+1=0，知an+1=

1

2-an

，1-an+1=1-

1

2-an

=

1-an

2-an

，由此能夠求出數列{a_n}的通項公式．
②當a=1時，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是單調減函數，又f（0）=0，所以x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．所以對于k∈N₊，

1

k+1

＞ln(1+

1

k+1

)=ln（k+2）-ln（k+1），再由ak=1-

1

k+1

＜1-(ln(k+2)-ln(k+1))，能夠證明S_n＜n+1-ln（n+2）．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x+a

-1，
由

1

x+a

-1＞0，得-a＜x≤1-a，
由

x+a＞0 1 x+a -1＜0

，得x＞1-a，
故f（x）在（-a，1-a]上是單調增函數，在[1-a，+∞）上是單調減函數．
（2）①∵a_na_n+1-2a_n+1+1=0，
∴an+1=

1

2-an

，1-an+1=1-

1

2-an

=

1-an

2-an

，
∴

1

1-an+1

=

2-an

1-an

=

1

1-an

 +1(a1≠1)，
∴{

1

1-an

}是公差為1的等差數列，且首項為

1

1-a1

=2，
故

1

1-an

=n+1，
∴an=1-

1

n+1

．
②由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是單調減函數，又f（0）=0，
∴x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
∴對于k∈N₊，

1

k+1

＞ln(1+

1

k+1

)=ln（k+2）-ln（k+1），
∵ak=1-

1

k+1

＜1-(ln(k+2)-ln(k+1))，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜1-（ln3-ln2）+1-（ln4-ln3）+…+（ln（n+2）-ln（n+1））
=n+ln2-ln（n+2）
＜n+1-ln（n+2）．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大，計算量大且繁瑣．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的合理運用．