Question

已知函數(shù)f(x)=

x

x-1

．
（1）求f（f（3））的值；
（2）判斷函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)性，并用定義加以證明．
（3）當(dāng)x取什么值時，f(x)=

x

x-1

的圖象在x軸上方？

Answer 1

分析：（1）運用函數(shù)解析式，代入計算，即可求得結(jié)論；
（2）函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，再運用定義法進(jìn)行證明；
（3）轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，f（3）=

3

2

，∴f(f(3))=f(

3

2

)=3…（2分）
（2）函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減…（3分）
證明：設(shè)x₁，x₂是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，則△x=x₁-x₂＜0△y=f(x1)-f(x2)=1+

1

x1-1

-1-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

…（6分）
由x₁，x₂∈（1，+∞），得（x₁-1）（x₂-1）＞0，且x₂-x₁=△x＞0
于是△y＞0
所以，f(x)=

x

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)…（8分）
（3）f(x)=

x

x-1

＞0得x＞1或x＜0…（10分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．