Question

試根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，研究函數(shù)f（x）=x^x（x＞0）的性質(zhì)，并回答：下列命題中假命題的個(gè)數(shù)是（　　）
①f（x）的極大值為1；
②f（x）的極小值為1；
③f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

10

，10)．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據(jù)條件，對(duì)f（x）=x^x=elnxx=e^xlnx，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求出f′（x），令其等于0即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答：解：∵f（x）=x^x=elnxx=e^xlnx，
∴f′（x）=（x^x）′=e^xlnx（lnx+1）=x^x（lnx+1）=0
得x=

1

e

當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）取極小值為e-

1

e

，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

1

e

，+∞)．
故命題①②③全錯(cuò)，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的恒等變形，以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，考查了運(yùn)算能力和分析解決問題的能力，以及計(jì)算能力，屬中檔題．