Question

（2013•廣州一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的均值為C，給出下列四個(gè)函數(shù)
①y=x³；
②y=(

1

2

)x；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
則滿足在其定義域上均值為1的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)在其定義域上均值為1的函數(shù)的定義，逐一對(duì)四個(gè)函數(shù)列出方程，解出y關(guān)于x的表達(dá)式，其中①③④在其定義域內(nèi)有解，②在其定義域內(nèi)無解，從而得出正確答案．

解答：解：①對(duì)于函數(shù)y=x³，定義域?yàn)镽，設(shè)x∈R，由

x3+y3

2

=1，得y³=2-x³，所以y=

3	2-x3

∈R，所以函數(shù)y=x³是定義域上均值為1的函數(shù)；
②對(duì)于y=(

1

2

)x，定義域?yàn)镽，設(shè)x∈R，由

( 1 2 )x+( 1 2 )y

2

=1，得(

1

2

)y=2-(

1

2

)x，當(dāng)x=-2時(shí)，2-(

1

2

)-2=-2，不存在實(shí)數(shù)y的值，使(

1

2

)y=-2，所以該函數(shù)不是定義域上均值為1的函數(shù)；
③對(duì)于函數(shù)y=lnx，定義域是（0，+∞），設(shè)x∈（0，+∞），由

lnx+lny

2

=1，得lny=2-lnx，則
y=e^2-lnx∈R，所以該函數(shù)是定義域上均值為1的函數(shù)；
④對(duì)于函數(shù)y=2sinx+1，定義域是R，設(shè)x∈R，由

2sinx+1+2siny+1

2

=1，得siny=-sinx，因?yàn)?sinx∈[-1，1]，
所以存在實(shí)數(shù)y，使得siny=-sinx，所以函數(shù)y=2sinx+1是定義域上均值為1的函數(shù)．
所以滿足在其定義域上均值為1的函數(shù)的個(gè)數(shù)是3．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握各基本初等函數(shù)的定義域和值域是解決本題的關(guān)鍵．