Question

已知動點P到直線的距離比它到點F的距離大.

（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l：對稱，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

解析:

（Ⅰ）據題意可知，點P到直線的距離等于它到點F的距離，所以點P的軌跡是以點F為交點，直線為準線的拋物線.                           

因為，拋物線開口向上，故點P的軌跡方程是.                       

（Ⅱ）若，則直線l為x軸，此時拋物線與直線l相切.                

若，設與直線l垂直的直線為，代入，得(*)

設直線與拋物線的交點為，則，

從而.                                      

假設點A，B關于直線對稱，則AB的中點在l上，

所以，即.                           

由于方程(*)有兩個不相等的實根，則.所以，整理得，即.                       

由恒成立，所以，即.

所以當時，拋物線上存在兩點關于直線對稱.                             

故當拋物線上不存在兩點關于直線l：對稱時，實數的取值范圍是

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