Question

若函數y=e^ax+3x，x∈R有大于零的極值點，則實數a的取值范圍是

a＜-3

．

Answer 1

分析：根據題意，問題可以轉化為f′（x）=3+ae^ax=0有正根，通過討論此方程根為正根，求得參數的取值范圍．

解答：解：設f（x）=e^ax+3x，則f′（x）=3+ae^ax，
∵函數在x∈R上有大于零的極值點，
∴f′（x）=3+ae^ax=0有正根，
①當a≥0時，f′（x）=3+ae^ax＞0，
∴f′（x）=3+ae^ax=0無實數根，
∴函數y=e^ax+3x，x∈R無極值點；
②當a＜0時，由f′（x）=3+ae^ax=0，解得x=

1

a

ln（-

3

a

），
當x＞

1

a

ln（-

3

a

）時，f′（x）＞0，當x＜

1

a

ln（-

3

a

）時，f′（x）＜0，
∴x=

1

a

ln（-

3

a

）為函數的極值點，
∴

1

a

ln（-

3

a

）＞0，解得a＜-3，
∴實數a的取值范圍是a＜-3．
故答案為：a＜-3．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，解題時要注意極值點即為導函數等于0的根，從而可以講問題轉化為根的存在性問題進行解決．屬于中檔題．