Question

設函數f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²-lnx（a，b∈R），已知它們在x=1處的切線互相平行．
（1）求b的值；
（2）若函數F(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，且方程F（x）=a²有且僅有四個解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）和g（x） 在x=1處的切線互相平行得，f′（1）=g′（1），解方程求出 b 值．
（2）分別求出求出f（x）的極值和g（x）的極值，結合單調性畫出F（x）的圖象，結合圖象可得若方程F（x）=a²有四個解，則

1

2

＜a²＜2a，解不等式求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²-3a，∴f′（1）=0．∵g′（x）=2bx-

1

x

，∴g′（1）=2b-1．
根據題意得 2b-1=0，∴b=

1

2

．
（2）x∈（0，1）時，g′（x）=x-

1

x

＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x）=x-

1

x

＞0，
所以，當 x=1時，g（x）取極小值 g（1）=

1

2

．
因為a＞0，x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，x∈（-1，0）時f′（x）＜0，所以x=-1時，f（x）取得極大值
f（-1）=2a，又f（0）=0，所以F（x）的圖象如下：

從圖象看出，若方程F（x）=a²有四個解，則

1

2

＜a²＜2a，解得 

2

2

＜a＜2，
所以，實數a的取值范圍是 （

2

2

，2）．

點評：本題考查導數的幾何意義，求函數的極值的方法，體現了數形結合、分類討論的數學思想，求出f（x）和g（x）的極值，是解題的關鍵和難點．