Question

如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面BAC，AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°．
（I）求棱PB的長；
（II）求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

解：（I）如圖，作PO⊥AC，垂足為O，連接OB
由已知得△POC≌△BOC，可得BO⊥AC．
∵AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°．
∴PO=0B=PAsin60°=
∵平面PAC⊥平面BAC，平面PAC∩平面BAC=AC，PO⊥AC
∴PO⊥平面BAC，結合OB?平面BAC，可得PO⊥OB
由此可得PB=PO=
（II）如圖，作OD⊥AB于D，連接OD，
∵PO⊥平面BAC，可得OD是PD在平面ABC內的射影
∴PD⊥AB，得∠PDO就是二面角P-AB-O的平面角，等于二面角P-AB-C的補角
∵Rt△BOD中，OD=BOsin∠OBD=POsin30°=PO
∴tan∠PDO==2，可得∠PDO=arctan2
由此可得二面角P-AB-O的平面角等于arctan2，
即得二面角P-AB-C的大小為π-arctan2．
分析：（I）作PO⊥AC，垂足為O，連接OB．根據△POC≌△BOC得到對應高線相等，即PO=0B=PAsin60°=．由面面垂直的性質定理，證出PO⊥平面BAC，可得PO⊥OB，從而得到PB=PO=；
（II）如圖，作OD⊥AB于D，連接OD，根據PO⊥平面BAC結合三垂直線定理，得到∠PDO就是二面角P-AB-O的平面角，等于二面角P-AB-C的補角．Rt△BOD中利用解三角形的知識，結合題中數據算出tan∠PDO，從而得到二面角P-AB-C的大小．
點評：本題給出頂角為120°的兩個等腰三角形有公共的腰且所在的平面相互垂直，求線段PB之長并求二面角的大小，著重考查了面面垂直、線面垂直的判定與性質、利用三垂線定理作二面的平面角和解直角三角形等知識，屬于中檔題．