Question

設(shè)x_i，y_i （i=1，2，…，n）是實數(shù)，且x₁≥x₂≥…≥x_n，y₁≥y₂≥…≥y_n，而z₁，z₂，…，z_n是y₁，y₂，…，y_n的一個排列．求證：（x_i-y_i）²≥（x_i-z_i）²．

Answer 1

【答案】分析：尋找使 （x_i-y_i）²≥（x_i-z_i）² 成立的充分條件為  ≤ ①．而由排序不等式可得①成立，從而得到要證的不等式成立．
解答：證明：要證 （x_i-y_i）²≥（x_i-z_i）² ，只需證 -2≥-2，
由于=，故只需證 ≤ ①．
而①的左邊為亂序和，右邊為順序和，根據(jù)排序不等式可得①成立，
故要證的不等式成立．
點評：本題主要考查用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．