Question

復數z滿足條件|z|=1，求|2z²-z+1|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：設 z=cosθ+isinθ，利用復數的乘方、模的定義、及三角公式化簡|2z²-z+1|=

8(cosθ- 3 8 )2+ 7 8

，利用二次函數的性質求得最值．

解答：解：∵|z|=1，∴z=cosθ+isinθ，
∴|2z²-z+1|=|2（cosθ+isinθ）²-（cosθ+isinθ）+1|=|（2cos2θ-cosθ+1）+（2sin2θ-sinθ）i|
=

(2cos2θ-cos+1)2+(2sin2θ-sinθ)2

=

8cos2θ-6cosθ+2

=

8(cosθ- 3 8 )2+ 7 8

．
∴當cosθ=

3

8

時，|2z²-z+1|有最小值為

14

4

，
當cosθ=-1時，|2z²-z+1|有最大值為 4．

點評：本題考查復數的乘方、求復數的模的方法，三角公式及二次函數性質得應用．