Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F（0，-

2

），點M（1，

2

）在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點，求△MAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的定義求出長軸長，利用條件b²=a²-c²求出b，則橢圓C的方程可求；
（Ⅱ）聯立直線和橢圓方程，解出交點，由點到直線距離公式求出三角形的高，則△MAB的面積可求．

解答：解：（Ⅰ）∵c=

2

，
∴2a=

(1-0)2+( 2 + 2 )2

+

(1-0)2+( 2 - 2 )2

=4，
∴a=2，b²=a²-c²=2，∴橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）如圖，

聯立直線l與橢圓C的方程

2x-y-2=0 y2 4 + x2 2 =1

．
解得

x1=0 y1=-2

，

x2= 4 3 y2= 2 3

．
∴A（0，-2），B（

4

3

，

2

3

）．
|AB|=

( 4 3 -0)2+( 2 3 +2)2

=

4

3

5

．
點M（1，

2

）到直線l的距離為d=

|2- 2 -2|

22+(-1)2

=

10

5

，
S△MAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

4 5

3

×

10

5

=

2 2

3

．

點評：本題考查阿勒橢圓的定義及簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了三角形面積的求法，是中檔題．