Question

已知橢圓的離心率為，長軸長為4，M為右頂點，過右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點，直線AM、BM與x=4分別交于P、Q兩點，（P、Q兩點不重合）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線AB與x軸垂直時，求證：
（3）當(dāng)直線AB的斜率為2時，（2）的結(jié)論是否還成立，若成立，請證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的基本量，得出a值，再結(jié)合離心率的公式得出c的值，最后得出b²==3，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線AB與x軸垂直，將x=1代入橢圓方程求出交點A、B的坐標(biāo)，然后用向量共線的方法分別計算出P、Q兩點的坐標(biāo)，從而得出向量和的坐標(biāo)，最后用數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式可證出；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），利用點斜式得出直線AB的方程為y=2（x-1），將其與橢圓方程聯(lián)解消去y得關(guān)于x的方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出，再利用直線的斜截式方程得，最后利用三點共線得出y₃關(guān)于x₁，y₁的表達式和y₄關(guān)于x₂，y₂的表達式，將它們代入到向量和的坐標(biāo)表達式中，化簡可得：，結(jié)論仍然成立．
解答：解：（1）由題意有2a=4，a=2，，c=1，b²=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 …（3分）
（2）直線AB與x軸垂直，則直線AB的方程是x=1
則A（1，）B（1，-），M（2，0）
AM、BM與x=1分別交于P、Q兩點，A，M，P三點共線，
，共線             …（4分）
可求P（4，-3），∴，
同理：Q（4，3），
∴命題成立．                     …（5分）
（3）若直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為y=2（x-1），
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
聯(lián)立消y得 19x²-32x+4=0
∴
∴…（7分）
又∵A、M、P三點共線，
∴同理
∴，
∴
綜上所述：，結(jié)論仍然成立…（10分）
點評：本題以圓錐曲線為載體，考查了直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量的數(shù)量積等知識點，屬于難題．解題時應(yīng)該注意設(shè)而不求與轉(zhuǎn)化化歸等思想的運用．