Question

已知，若f（x）=ax²-4x+2在區間[1，4]上最大值為M（a），，最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）討論g（a）在上的單調性；
（3）當時，證明2a²+4≥g（a）．

Answer 1

解：（1）f（x）的對稱軸為x=
∵
∴
∴當x=時，f（x）最小為N（a）=
時，當x=4時最大為M（a）=16a-14
時，當x=1時最大為M（a）=a-2
∴
（2）時
∵＜0
∴
證明（3）∵
∴當a=時g（a）最大，最大值為
∵
即∵2a²+4≥g（a）_max
∴2a²+4≥g（a）
分析：（1）求出f（x）的對稱軸，判斷對稱軸與區間的關系，求出f（x）的最小值；討論對稱軸與區間中點的位置關系，求出最大值；利用最大值減去最小值求出g（a）
（2）求出a∈時g（a）的導函數，判斷出其符號，得到g（a）的單調性．
（3）利用（2）的單調性求出g（a）的最大值；求出二次函數2a²+4的最小值，該最小值大于等于g（a）的最大值，
得證．
點評：本題考查二次函數的最值的求法，其最值取決于對稱軸與區間的位置關系、考查利用導函數的符號判斷函數的單調性、考查等價轉化的數學數學方法．