Question

已知圓O：x²+y²=1（點O為坐標原點），一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B．
（1）設b=f（x），求f（k）的表達式；
（2）若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓心到直線的距離為半徑1求得k和b的關系式，同時把直線與橢圓方程聯立消去y根據判別式大于或等于0求得k的范圍，綜合可得f（k）的表達式；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據（1）可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而可求得，最后根據求得k，進而求得b，則直線l的方程可得．
解答：解：（1）y=kx+b（b＞0）與x²+y²=1相切，則，
即b²=k²+1，∵b＞0，∴
消去y，
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
∵l與橢圓交于不同的兩點，
∴△=16k²b²-4（2k²+1）（2b²-2）=8k²＞0，k≠0．
∴
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=，
∴
所以b²=2，∵b＞0，∴，
∴或
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．一般是把直線方程與圓錐曲線方程聯立消元，根據韋達定理來解決．