Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分別為CE、AB的中點．
（I）求證：OD∥平面ABC；
（II）求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；
（III）能否在EM上找一點N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請指出點N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC中點F，連接OF、FB，可證四邊形BDOF是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（II）以C為原點，分別以CA、CB為x、y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，
設面ODM的法向量，則直線CD和平面ODM所成角為θ，從而求解．
（III）取EM中點N，連接ON、CM，因為AC=BC，M為AB中點，可得CM⊥AB，證明ON∥CM即可求解．
解答：解：（I）證明：取AC中點F，連接OF、FB（1分）
∵F是AC中點，O為CE中點，∴OF∥EA且OF=，又BD∥AE且BD=
∴F∥DB，OF=DB
∴四邊形BDOF是平行四邊形（2分）
∴OD∥FB（3分）
又∵FB?平面MEG，OD?平面MEG
∴OD面ABC．（4分）
（II）∵DB⊥面ABC，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC，（5分）
如圖，以C為原點，分別以CA、CB為x、y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系
∵AC=BC=4
∴各點坐標為：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2）
E（4，0，4）
∴（6分）
設面ODM的法向量，則由可得令x=2，
得：（7分）
設直線CD和平面ODM所成角為θ．
則：
∴直線CD和平面ODM所成角正弦值為（8分）
（III）方法一：當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE．（9分）
證明：取EM中點N，連接ON、CM，∵AC=BC，M為AB中點，∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥AB，
∵N是EM中點，O為CE中點，∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．（13分）
方法二當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE．（9分）
∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC．
如圖，以C為原點，分別以CA、CB為x、y軸，以過點C與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AC=BC=4，
∴各點坐標為：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）D（0，4，2），E（4，0，4）
∴O（2，0，2），M（2，2，0），設N（a，b，c），
∴，（10分）
∵點N在ME上，∴，即（a-2，b-2，c）=λ（4-a，-b，4-c）
∴
∴（11分）
∵是面ABC的一個法向量，
∴，∴，解得λ=1．（12分）
∴即N是線段EM的中點，
∴當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE．（13分）
點評：本題主要考查空間線面的位置關系，空間角的計算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數形結合思想．