Question

（2012•開封一模）已知數列{a_n}，其前n項和S_n滿足S_n+1=2S_n+1，且a₁=1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求S_n，再借助項與和關系a_n=S_n-S_n-1，可確定數列的通項；
（2）利用錯位相減法，可求數列的和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數列{S_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列
∴S_n+1=2×2^n-1
∴S_n=2ⁿ-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
n=1時，a₁=1也滿足上式，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）數列{na_n}的前n項和T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，②
①-②整理得T_n=（n-1）2ⁿ+1

點評：本題考查數列遞推式，考查項與和關系，考查數列的通項與求和，正確運用求和公式是關鍵．