Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點P的極坐標為（，），直線l過點P，且傾斜角為，方程=1所對應的曲線經過伸縮變換后的圖形為曲線C．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標系方程．
（Ⅱ）直線l與曲線C相交于兩點A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定P的直角坐標，利用直線l過點P，且傾斜角為，可得直線l的參數方程；確定坐標之間的關系，代入方程，化簡可得結論；
（Ⅱ）直線l的參數方程，代入曲線方程，利用參數的幾何意義，即可求|PA|•|PB|的值．
解答：解：（Ⅰ）P的直角坐標為（1，1）
∵直線l過點P，且傾斜角為，∴直線l的參數方程為（t為參數）
∵伸縮變換，∴
代入=1，可得，即x′²+y′²=4
∴曲線C的直角坐標系方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）直線l的參數方程為，代入曲線C可得t²+（）t-2=0
設方程的根為t₁，t₂，則t₁+t₂=；t₁t₂=-2
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=2
點評：本題考查直線的參數方程，考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．