Question

設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，當x＞1時，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求證：0＜x＜1時，f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調性并證明之；
（4）若f（）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

Answer 1

解：（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）為偶函數；
（2）函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
證明如下：設x₁＞x₂＞0，則，
∵當x＞1時f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂•）=f（x₂）+f（），
則f（）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）為單調減函數；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）為單調減函數；
∴0＜x＜1時，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化為：f[x（2-x）]＜f（），
∵f（x）在（0，+∞）為單調減函數，
∴，解得0＜x＜，
故所求的解集為：（0，）．
分析：（1）先令x=y=1得到f（1）=0，從而得出f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），f（x）為偶函數；
（2）設x₁＞x₂＞0，得，結合式子進行變形，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號，進而由定義得出函數的單調性；（4）
（3）由（1）和（2），結合單調性得0＜x＜1時，f（x）＞f（1）=0；
（4）根據條件將原不等式轉化為f[x（2-x）]＜f（），結合函數的單調性和定義域可得關于x的不等式，再進行求解．
點評：本題考查了利用函數單調性的定義探討抽象函數的單調性問題，求某些點的函數值和證明不等式等，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形，證明函數單調性的能力．