Question

已知拋物線和三個點，過點的一條直線交拋物線于、兩點，的延長線分別交曲線于．

（1）證明三點共線；

（2）如果、、、四點共線，問：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于、的交點？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點到直線的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）同解析（2）存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點，交點到的距離為

解析:

（1）證明：設，

則直線的方程：       

即：

因在上，所以①   

又直線方程：

由得：

所以     

同理，

所以直線的方程：   

令得

將①代入上式得，即點在直線上

所以三點共線                           

（2）解：由已知共線，所以 

以為直徑的圓的方程：

由得

所以（舍去），        

要使圓與拋物線有異于的交點，則

所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點 

則，所以交點到的距離為