Question

已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），焦點F為 （0，1），點P（x₁，y₁）是拋物線上的任意一點，過點P作拋物線的切線交拋物線的準線l于點A（s，t）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過點A作拋物線C的另一條切線AQ，其中Q（x₂，y₂）為切點，試問直線PQ是否恒過定點，若是，求出定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線的焦點F（0，1）可求P，進而可求拋物線的方程
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過P的切線斜率，進而可求切線方程，在切線方程中，令y=-1可求S關(guān)于x₁的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求S的范圍
（3）猜測直線PQ恒過點F（0，1），由題得，x₁≠x₂，要證點P、F、Q三點共線，只需證k_PF=k_QF，
解答：（本題滿分15分）
解：（1）由拋物線的焦點F（0，1）可得p=2
故所求的拋物線的方程為x²=4y…（3分）
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過P的切線斜率．
∴切線方程為．
∵準線方程為y=-1． 
在切線方程中，令y=-1       …（5分）
可得．           …（7分）
又s在[1，4]單調(diào)遞增
∴s的取值范圍是-．…（10分）
（3）猜測直線PQ恒過點F（0，1）…（11分）
由題得，x₁≠x₂
要證點P、F、Q三點共線，只需證k_PF=k_QF，即證x₁x₂=-4…（13分）
由（2）知，同理得，故
∴=
∵x₁≠x₂
∴x₁x₂=-4
∵K_PF=，====K_PF
從而可知點P、F、Q三點共線，即直線PQ恒過點F（0，1）…（15分）
點評：本題主要考查了利用拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程，其中解（2）的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)y=的單調(diào)性．