Question

已知三棱錐的頂點在底面內的射影為底面三角形的垂心，求證底面內任一頂點在其相對側面內的射影也是此側面三角形的垂心．

Answer 1

答案：
解析：

證明 如圖，在三棱錐P－ABC中，P在底面內的射影O為△ABC的垂心，AO、CO分別交BC、AB于D、E． 由O為△ABC的垂心，知AO⊥BC． 由三垂線定理，可得BC⊥PA． 由BC⊥平面PAD，知BC⊥PD． ，知平面PAD⊥平面PBC，PD為兩平面交線． 作AH⊥PD于H，則AH⊥平面PBC，即H為A在平面PBC內的射影． 由AH⊥平面PBC，，知AH⊥PC． 由三垂線定理，可知PC⊥AB，AB∩AH=A， 故PC⊥平面ABH，BH平面ABH．所以PC⊥BH， 由PH⊥BC，BH⊥PC，知H為△PBC的垂心． 同理可證B、C在其相對側面內的射影也是側面三角形PAC、PAB的垂心． 注意，復習、鞏固上一單元的基礎知識，也是學習本單元的目的之一．