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設函數，
（1）對于任意實數x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）先求函數f（x）的導數，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）min≥m成立即可．
（2）若欲使方程f（x）=0有且僅有一個實根，只需求出函數的極大值小于零，或求出函數的極小值大于零即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
因為x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x2-9x+（6-m）≥0恒成立，
所以△=81-12（6-m）≤0，
得，即m的最大值為
（2）因為當x＜1時，f′（x）＞0；
當1＜x＜2時，f′（x）＜0；當x＞2時，f′（x）＞0；
所以當x=1時，f（x）取極大值；
當x=2時，f（x）取極小值f（2）=2-a；
故當f（2）＞0或f（1）＜0時，
方程f（x）=0僅有一個實根、解得a＜2或
點評：本題主要考查了一元二次函數恒成立問題，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常數）；
②對于D內任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c稱f（x）為“平底型”函數．
（1）（理）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（文）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）（理）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（文）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數，求m和n滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法中，正確的是（　　）
①對于定義域為R的函數f（x），若函數f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數f（x）的圖象關于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，
1
2
，3}，則使函數y=xa的定義域為R且該函數為奇函數的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數f（x）=2x-log0.5x的零點，若0＜x0＜a，則f（x0）＜0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常數）；②對于D內任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函數，求m和n的值．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年江蘇省南通市啟東中學高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常數）；②對于D內任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）若是“平底型”函數，求m和n的值．

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