Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，， ，，， PA=AB=BC=2. E是PC的中點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）求三棱錐P-ABC的體積；

（3） 證明：平面

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）證明PA⊥平面ABCD, PA⊥CD即得證；（2）直接利用三棱錐的體積公式求解；（3）先證明AE⊥PC， CD⊥AE，平面即得證.

（1）因?yàn)?/span>， ，平面ABCD,

所以PA⊥平面ABCD, 因?yàn)?/span>平面ABCD,

所以PA⊥CD.

（2）因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，所以PA是三棱錐P-ABC的高，

所以.

（3）因?yàn)?/span>， AB=BC=2.

所以AC=PA=2,

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，

所以AE⊥PC.

因?yàn)镃D⊥AC,AP⊥CD,平面APC,

所以CD⊥平面PAC,

所以CD⊥AE.

因?yàn)?/span>平面PCD,

所以AE⊥平面PCD.